TEORÍA DE CONJUNTOS
La palabra conjunto generalmente la asociamos con la idea de agrupar objetos, por ejemplo un conjunto de discos, de libros, de plantas de cultivo y en otras ocasiones en palabras como hato, rebaño, piara, parcelas, campesinos, familia, etc., es decir la palabra conjunto denota una colección de elementos claramente entre sí, que guardan alguna característica en común. Ya sean números, personas, figuras, ideas y conceptos.En matemáticas el concepto de conjunto es considerado primitivo y ni se da una definición de este, sino que se trabaja con la notación de colección y agrupamiento de objetos, lo mismo puede decirse que se consideren primitivas las ideas de elemento y pertenencia.
La característica esencial de un conjunto es la de estar bien definido, es decir que dado un objeto particular, determinar si este pertenece o no al conjunto. Por ejemplo si se considera el conjunto de los números dígitos, sabemos que el 3 pertenece al conjunto, pero el 19 no. Por otro lado el conjunto de las bellas obras musicales no es un conjunto bien definido, puesto que diferentes personas puedan incluir distintas obras en el conjunto.
Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros o elementos. Por ejemplo el conjunto de las letras de alfabeto; a, b, c, ..., x, y, z. que se puede escribir así:
El detallar a todos los elementos de un conjunto entre las llaves, se denomina forma tabular, extensión o enumeración de los elementos.
Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos, por ejemplo:
El conjunto { a, b, c } también puede escribirse:
{ a, c, b }, { b, a, c }, { b, c, a }, { c, a, b }, { c, b, a }
En teoría de conjuntos se acostumbra no repetir a los elementos por ejemplo:
El conjunto { b, b, b, d, d } simplemente será { b, d }.
MEMBRESIA
Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas : A, B, C,... por ejemplo:A={ a, c, b }
B={ primavera, verano, otoño, invierno }
El símbolo Î indicará que un elemento pertenece o es miembro de un conjunto. Por el contrario para indicar que un elemento no pertenece al conjunto de referencia, bastará cancelarlo con una raya inclinada / quedando el símbolo como Ï .
SUBCONJUNTO
Sean los conjuntos A={ 0, 1, 2, 3, 5, 8 } y B={ 1, 2, 5 }En este caso decimos que B esta contenido en A, o que B es subconjunto de A. En general si A y B son dos conjuntos cualesquiera, decimos que B es un subconjunto de A si todo elemento de B lo es de A también.
UNIVERSO O CONJUNTO UNIVERSAL
El conjunto que contiene a todos los elementos a los que se hace referencia recibe el nombre de conjunto Universal, este conjunto depende del problema que se estudia, se denota con la letra U y algunas veces con la letra S (espacio muestral).Por ejemplo si solo queremos referirnos a los 5 primeros números naturales el conjunto queda:
OPERACIONES CON CONJUNTOS
UNION
La unión de dos conjuntos A y B la denotaremos por A È B y es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al menos a uno de ellos ó a los dos. Lo que se denota por:A È B = { x/x Î A ó x Î B }
INTERSECCION
Sean A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 } y B={ 2, 4, 8, 12 }Los elementos comunes a los dos conjuntos son: { 2, 4, 8 }. A este conjunto se le llama intersección de A y B; y se denota por A Ç B, algebraicamente se escribe así:
A Ç B = { x/x Î A y x Î B }
CONJUNTO VACIO
Un conjunto que no tiene elementos es llamado conjunto vacío ó conjunto nulo lo que denotamos por el símbolo Æ .CONJUNTOS AJENOS
Sí la intersección de dos conjuntos es igual al conjunto vacío, entonces a estos conjuntos les llamaremos conjuntos ajenos, es decir:Si A Ç B = Æ entonces A y B son ajenos.
COMPLEMENTO
El complemento de un conjunto respecto al universo U es el conjunto de elementos de U que no pertenecen a A y se denota como A' y que se representa por comprehensión como:A'={ x Î U/x y x Ï A }
DIFERENCIA
Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de A y B se denota por A-B y es el conjunto de los elementos de A que no están en B y se representa por comprehensión como:A - B={ x/x Î A ; X Ï B }
DIAGRAMAS DE VENN
Los diagramas de Venn que de deben al filósofo inglés John Venn (1834-1883) sirven para encontrar relaciones entre conjuntos de manera gráfica mediante dibujos ó diagramas.La manera de representar el conjunto Universal es un rectángulo, ó bien la hoja de papel con que se trabaje.
PROBLEMAS
1.- Sean A ={1,2,3,4}; B ={2,4,6,8}; C ={3,4,5,6}
Hallar a).- A U B; b).- A U C; c).- B U C; d).- B U B
Solución:
A U B = {1,2,3,4,6,8}
A U C = {1,2,3,4,5,6}
B U C = {2,4,6,3,5}
B U B = {2,4,6,8}
2.- Dado el conjunto A = {6,2,8,4,3} encontrar todos los subconjuntos de A que se puedan construir con sus elementos, es decir el conjunto potencia.
2A ={ {6},{2},{8},{4},{3},{6,2},{6,8},{6,4},{6,3},{2,8},{2,4},{2,3},{8,4},{8,3},{4,3},
{6,2,8},{6,2,4},{6,2,3},{6,8,4},{6,8,3},{6,4,3},{2,8,4},{2,8,3},{2,4,3},{8,4,3},{6,2,8,4},{6,2,8,3},
{2,8,4,3,},{6,8,4,3,},{6,2,4,3,},{6,2,8,4,3},{ }}
3.- {2, 4, 6} es un conjunto. Los elementos que forman este conjunto son: 2, 4, 6
a) A= { x|x= 4}
Se lee “A es el conjunto de los x tales que x al cuadrado es igual a cuatro”.
Los únicos números que elevados al cuadrado dan cuatro son 2 y -2, así que
A= {2,− 2}.
PRINCIPIO DE CONTEO
En lo que respecta a técnicas de conteo, tenemos dos principios importantes:
El principio de adición
El principio de multiplicación
El principio de adición (o)
Si un evento o suceso “A” ocurre de n maneras y otro “B” ocurre de m maneras, luego:
Nº de maneras en que puede ocurrir el evento A o el evento B es: n + m
Un evento o suceso ocurre de una forma o de otra, más no
de ambas formas a la vez (no sucede en simultaneo)
Si un evento A ocurre de n maneras diferentes seguido de otro evento B que ocurre de maneras m maneras
distintas, entonces:
Nº de maneras en que puede ocurrir A y B es: n x m
Los sucesos o eventos ocurren uno a continuación de otro,
originando un suceso compuesto.
La combinacion de 3 elementos tomados de 2 en 2 es: 3
{A B}. {A C}.{ B C}.
El número de combinaciones de m elementos
tomados de n en n se simboliza por mCn y se
calcula del modo siguiente:
Un evento o suceso ocurre de una forma o de otra, más no
de ambas formas a la vez (no sucede en simultaneo)
El principio de multiplicación (y)
(Conocido también como el principio fundamental del análisis combinatorio).Si un evento A ocurre de n maneras diferentes seguido de otro evento B que ocurre de maneras m maneras
distintas, entonces:
Nº de maneras en que puede ocurrir A y B es: n x m
Los sucesos o eventos ocurren uno a continuación de otro,
originando un suceso compuesto.
COMBINACIÓN Y PERMUTACIÓN
Si tenemos tres fichas A B C . Al escoger dos de ellas tenemos los siguientes:La combinacion de 3 elementos tomados de 2 en 2 es: 3
{A B}. {A C}.{ B C}.
El número de combinaciones de m elementos
tomados de n en n se simboliza por mCn y se
calcula del modo siguiente:
PERMUTACIÒN: Son eventos de tipo multiplicativo, donde el número de posibilidades va disminuyendo y si importa el orden una permutación es un arreglo de un conjunto de objetos en un orden definido.
PROBLEMAS
1.- A una reunión acuden 10 personas. Si se saludan con apretones de manos entre
ellos, ¿Cuántos apretones se producen?
Cada apretón es una combinación de 2 en 2 de las 10 personas.
N apretones= 10 C2= 10!/2!8! = 9X10/2 =45
2.- Uniendo 3 vértices de un hexágono regular, ¿Cuántos triángulos diferentes se
obtienen?
Cada triangulo se obtiene combinando 3 vértices de los 6 que tiene el hexágono.
N triángulos= 6C3 = 6!/3!3! = 4X5X6/ 1X2X3= 20
PRINCIPIOS DE PROBABILIDAD
La probabilidad es la oportunidad de que algo pueda suceder. Un evento es una o más de las respuestas de que suceda ese algo.
Experimento: la actividad que produce eventos.
Evento mutuamente excluyente:Son aquellos eventos en los que se cumple la característica de que NO pueden suceder al mismo tiempo.
PROBABILIDAD BAJO CONDICIONES DE INDEPENDENCIA ESTADÍSTICA. Cuando ocurren dos eventos el resultado del primero PUEDE O NÓ tener un efecto en el resultado del segundo evento, es decir, los eventos pueden ser tanto dependientes o independientes. Evento mutuamente excluyente:Son aquellos eventos en los que se cumple la característica de que NO pueden suceder al mismo tiempo.
EVENTOS ESTADÍSTICAMENTE INDEPENDIENTES. Son aquellos en los cuales la ocurrencia de un evento NO tiene efecto en la probabilidad de la ocurrencia de cualquier otro evento.
Existen 3 tipos de probabilidad bajo la condición de independencia estadística:
Marginal: Probabilidad individual significa que sólo puede tener lugar un evento.
Conjunta: Es la probabilidad de que 2 o más eventos independientes ocurran junto o en sucesión, es el producto de sus probabilidades marginales.
Condicional: Es aquella en la cual la probabilidad de un evento se encuentra condicionada a la ocurrencia de otro evento.
CON ESTO TERMINAMOS LOS PRIMEROS TEMAS VISTOS. GRACIAS
BIBLIOGRAFIA:
http://colposfesz.galeon.com/est501/conjunto/teoconj.htm
